Question

已知奇函数f（x）=

1

2x-1

+a．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求a的值；
（3）证明x＞0时，f（x）＞0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据2^x-1≠0，即2^x≠1，求解．（2）根据奇函数的概念，f(x)+f(-x)=

1

2x-1

+a+

2x

1-2x

+a=0，求解．
（3）根据不等式的性质证明，结合指数函数的单调性．

解答： 解：（1）∵2^x-1≠0，即2^x≠1，
∴x≠0
故f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）解：∵f（x）是奇函数
又∵f(-x)=

1

2-x-1

+a=

2x

1-2x

+a
∴f(x)+f(-x)=

1

2x-1

+a+

2x

1-2x

+a=0
∴a=

1

2

（3）证明：当x＞0时，2^x＞1，
∴2^x-1＞0
∴

1

2x-1

+

1

2

＞0，
即x＞0时，f（x）＞0

点评：本题考查了函数的概念，性质，属于容易题．