Question

在边长为a的正方形ABCD中，M，N分别为DA、BC上的点，且MN∥AB，连结AC交MN于点P，现沿MN将正方形ABCD折成直二面角．
（1）求证：无论MN怎样平行移动（保持MN∥AB），∠APC的大小不变并求出此定值；
（2）当MN在怎样的位置时，M点到面ACD的距离最大？

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先根据勾股定理求出相关的线段长，进一步利用余弦定理求得∠APCD的余弦值为定值．
（2）利用点到平面的距离，求出ME，进一步利用均值不等式求出结果．

解答： （1）证明：在边长为a的正方形ABCD中，M，N分别为DA、BC上的点，且MN∥AB，连结AC交MN于点P，现沿MN将正方形ABCD折成直二面角．
设MC=x，（0＜x＜a）根据AC平分∠DAB得到：PN=x，MP=a-x，MA=a-x，AN=

a2+(a-x)2

，
AP=

2

(a-x)
PC=

2

x
进一步在△APC中利用余弦定理：cos∠APC=

AP2+PC2-AC2

2AP•PC

=-

1

2

所以：无论MN怎样平行移动（保持MN∥AB），∠APC的大小不变．此定值为-

1

2

．
（2）由图形可知：MN∥平面ACD
过M作ME⊥平面ACD，设MD=x
利用面积相等得：ME=

x(a-x)

x2+(a-x)2

=

1

1 x2 + 1 (a-x)2

≤

x(a-x)

2

≤

a 2

2

=

2 a

4

（当且仅当x=

a

2

时）
即：当M在中点时，M点到面ACD的距离最大．

点评：本题考查的知识要点：折叠问题在立体几何中的应用，余弦定理得应用，勾股定理得应用，均值不等式的应用及相关的运算问题．