Question

求函数f（x）=

2xlnx

1-x2

的最小值．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：导数的综合应用

分析：先求出f（x）的导数，再令g（x）=lnx-

x2-1

x2+1

，对g（x）求导，得出f（x）的单调区间，得出f（1）是最小值，而x=1不在定义域，求极限即可．

解答： 解：∵f（x）=

2xlnx

1-x2

，
∴f（x）=

2(1+x2)lnx+2(1-x2)

(1-x2)2

，
令f′（x）=0，得：lnx=

x2-1

x2+1

，
设g（x）=lnx-

x2-1

x2+1

，
显然函数g（x）有一个零点x=1，
对函数g（x）求导得：
g′（x）=

1

x

-

4x

(x2+1)2

=

(x2-1)2

x(x2+1)2

≥0，
当且仅当x=1时等号成立，（x＞0）．
∴函数g（x）在其定义域上单调递增，
∴x=1为函数f（x）唯一驻点，
∵函数g（x）在x＞0时单调递增，且在x=1时g（1）=0，
∴在（0，1）上，g（x）＜0，f（x）单调递减；
在（1，+∞）上，g（x）＞0，f（x）单调递增．
∴f（x）_min=f（1），
很明显，f（x）的定义域不包含1，
故求出

lim

x→1

f（x）即可，
由洛必达法则得：

lim

x→1

f（x）=

lim

x→1

2xlnx

1-x2

=

lim

x→1

2lnx+2

-2x

=

lim

x→1

（-lnx-1）
=-1．

点评：本题属于求函数的值域问题，利用导数求函数的单调区间，确定函数取最小值的x的范围，由于x=1不在定义域内，需用到洛必达法则．