Question

已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C的一个焦点在抛物线y²=4

3

x的准线上，且椭圆C过点（1，

3

2

）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点A为椭圆C的右顶点，过点B（1，0）作直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF与直线x=3分别交于不同的两点M，N，求

EM

•

FN

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），依题意可得a、b、c的方程组，解之可得方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点A的坐标为（2，0）．（1）当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，可得

EM

•

FN

=1；（2）当直线l的斜率存在时，写直线的方程，联立方程组，消y并整理得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0．进而由根与系数的关系表示出向量的数量积为1+

1

16k2+4

，由k的范围可得其范围，综合可得．

解答： 解：（Ⅰ）抛物线y²=4

3

x的准线方程为：x=-

3

…（1分）
设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则c=

3

依题意得

a2=b2+3 1 a2 + 3 4b2 =1

，解得a²=4，b²=1．
所以椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．…（3分）
（Ⅱ）显然点A的坐标为（2，0）．．
（1）当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，
易得E（1，

3

2

），F（1，-

3

2

），M（3，-

3

2

），N（（3，

3

2

），
所以

EM

•

FN

=1．…（5分）
（2）当直线l的斜率存在时，由题意可设直线l的方程为y=k（x-1），显然k=0时，不符合题意，
E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
y=k（x-1）代入椭圆方程可得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0．…（6分）
则x₁+x₂=

8k2

4k2+1

，x₁x₂=

4k2-4

4k2+1

．…（7分）
直线AE，AF的方程分别为：y=

y1

x1-2

（x-2），y=

y2

x2-2

（x-2），
令x=3，则M（3，

y1

x1-2

），N（3，

y2

x2-2

）．
所以

EM

=（3-x₁，

y1(3-x1)

x1-2

），

FN

=（3-x₂，

y2(3-x2)

x2-2

）．…（9分）
所以

EM

•

FN

=（3-x₁）（3-x₂）+

y1(3-x1)

x1-2

•

y2(3-x2)

x2-2

=（3-x₁）（3-x₂）+[1+k2•

(x1-1)(x2-1)

(x1-2)(x2-2)

]
=1+

1

16k2+4

．…（11分）
因为k²＞0，所以16k²+4＞4，所以1＜1+

1

16k2+4

＜

5

4

，即

EM

•

FN

∈（1，

5

4

）．
综上所述，

EM

•

FN

=的取值范围是[1，

5

4

）．…（13分）

点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系的应用，属中档题．