Question

在平面直角坐标系中，点P是不等式组 

x-2y+2≥0 x+y-1≥0 x≤2

所确定的平面区域内的动点，Q是直线2x+y=0上的任意一点，O为坐标原点，则|

OP

+

OQ

|的最小值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合，结合向量的基本运算即可得到结论．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域：
设P（x，y），
∵Q在直线2x+y=0上，
∴设Q（a，-2a），
则

OP

+

OQ

=（x+a，y-2a），
则|

OP

+

OQ

|=

(x+a)2+(y-2a)2

，
设z=|

OP

+

OQ

|=

(x+a)2+(y-2a)2

，
则z的几何意义为平面区域内的动点P到动点Q的距离的最小值，
由图象可知当P位于点A（0，1）时，
Q为P在直线2x+y=0的垂足时，
z取得最小值为d=|AD|=

|1|

22+12

=

1

5

=

5

5

，
故答案为：

5

5

．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用平面向量的基本运算，利用数形结合是解决本题的关键．