Question

如图所示，在斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB₁C₁C⊥底面ABC．
（1）若D是BC的中点．求证：AD⊥CC₁；
（2）过侧面BB₁C₁C的对角线BC₁的平面交侧棱于M，若AM=MA₁，求证：截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C；
（3）若截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C..求证：AM=MA₁．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）先证明平面ABC⊥平面BB₁C₁C，可知AD⊥平面BB₁C₁C，从而可证AD⊥CC₁；
（2）取BC₁的中点E，连接DE、ME，先证明MA

∥

.

ED，从而有EM∥AD，由（1）知AD⊥平面BB₁C₁C．即可证明平面BMC₁⊥平面BB₁C₁C．
（3）在图中，过M作ME⊥BC₁于E，由截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C，可证四边形MADE为平行四边形，有AM=DE，可证DE∥CC₁，即可证明AM=MA₁．

解答： 证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．
∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，交线为BC．
∴由面面垂直的性质定理，
可知AD⊥平面BB₁C₁C．
又平面CC₁?BB₁C₁C，
∴AD⊥CC₁．----------------（4分）
（2）取BC₁的中点E，连接DE、ME．在△BCC₁中，D、E分别是BC、BC₁的中点，
∵M是AA₁的中点（由AM=MA₁知）
∴MA

∥

.

ED，∴EM∥AD，
由（1）知AD⊥平面BB₁C₁C．
∴ME⊥平面BB₁C₁C．
∴平面BMC₁⊥平面BB₁C₁C．-------------（9分）
（3）在图中，过M作ME⊥BC₁于E，
∵截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C，
∴ME⊥侧面BB₁C₁C
又AD⊥侧面BB₁C₁C，
∴ME∥AD，又AM∥侧面BB₁C₁C，平面AMED∩侧面BB₁C₁C=DE，
∴AM∥DE，
∴四边形MADE为平行四边形，
∴AM=DE，
∵CC₁∥AM，
∴DE∥CC₁，又D为BC中点，
∴E为BC₁中点，
∴AM=DE=

1

2

CC₁
∴AM=MA₁．---------------（14分）

点评：本题主要考察了平面与平面垂直的判定，空间中直线与直线之间的位置关系，恰当的添加辅助线是解题的关键，属于基本知识的考查．