Question

5．在平面直角坐标系xOy中，设点F（2，0），直线l：x=-2，点M为直线l上的一个动点，线段MF与y轴交于点N，E为第一象限内一点，且满足NE⊥MF，ME⊥直线l．
（1）求动点E的轨迹方程C；
（2）过点F做直线交轨迹C于A，B两点，延长OA，OB分别交直线x+y+4=0于P，Q两点，求线段|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件知，点N是线段FM的中点，NE是线段FM的垂直平分线，点QE的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，写出抛物线标准方程．
（2）求出P，Q的坐标，可得|PQ|，再换元、配方，即可得出结论．

解答 解：（1）依题意知，NE是线段FM的垂直平分线．
∵ME⊥直线l，∴|EM|是点E到直线l的距离．
∵点E在线段FM的垂直平分线，∴|EM|=|EF|．
故动点E的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：y²=8x（x＞0）．
（2）设A（x₁，y₁），则OA：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x与y=-4-x联立，可得P（-$\frac{4{x}_{1}}{{x}_{1}+{y}_{1}}$，-$\frac{4{y}_{1}}{{x}_{1}+{y}_{1}}$），
同理Q（-$\frac{4{x}_{2}}{{x}_{2}+{y}_{2}}$，-$\frac{4{y}_{2}}{{x}_{2}+{y}_{2}}$）
设AB：x=ty+2与抛物线方程联立，可得y²-8ty-16=0，
∴y₁+y₂=8t，y₁y₂=-16
∴|PQ|=$\sqrt{2}$•|x₁-x₂|=2$\sqrt{2}•|\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{4t+3}|$
=16$\sqrt{2}•\sqrt{\frac{{t}^{2}+1}{（4t+3）^{2}}}$，
令u=4t+3，可得|PQ|=4$\sqrt{2}•\sqrt{25（\frac{1}{u}-\frac{3}{5}）^{2}+\frac{16}{25}}$，
∴u=$\frac{5}{3}$，t=-$\frac{1}{3}$时，|PQ|_min=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$，
x₁=2，A（2，4），B（2，-4），P（-$\frac{4}{3}$，-$\frac{8}{3}$），Q（2，-6），
∴|PQ|=$\sqrt{（2+\frac{4}{3}）^{2}+（-6+\frac{8}{3}）^{2}}$=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$$＞\frac{8\sqrt{2}}{3}$．
∴线段|PQ|的最小值为$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查轨迹方程的求法、抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，直线过定点问题，属于难题．