Question

13．已知函数g（x）=ax²-（a+1）x+1，f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的x，y∈R都满足：f（xy）=xf（y）+yf（x）．
（1）求不等式g（x）＜0的解集；
（2）当a=1时，若 f（2）=g（2）+1，设a_n=f（2ⁿ）（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的基础上，若b_n=$\frac{n+2}{n+1}$•$\frac{1}{{a}_{n}}$，数列{b_n}的前n项和为S_n．求证：S_n＜1．

Answer 1

分析 （1）分类讨论解含参数的不等式；（2）利用递推式构造新数列$\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}\}$是以1为首项，1为公差的等差数列；（3）列项求和，再放缩证明S_n＜1．

解答 解：当a=0时，原不等式可化为-x+1＜0，即x＞1    …（1分）
当a＜0时，原不等式可化为（ax-1）（x-1）＜0，
即$\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x-\frac{1}{a}））$（x-1）＞0．因为$\frac{1}{a}$＜1，所以x＞1或x＜$\frac{1}{a}$．…（2分）
当a＞0时，不等式可化为$\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x-\frac{1}{a}））$（x-1）＜0，
①若0＜a＜1，则$\frac{1}{a}$＞1，所以1＜x＜$\frac{1}{a}$；
②若a=1，则$\frac{1}{a}$=1，不等式无解；
③若a＞1，则$\frac{1}{a}$＜1，所以$\frac{1}{a}$＜x＜1．…（4分）
综上知，当a＜0时，原不等式的解集为{x|x＜$\frac{1}{a}$或x＞1}；
当a=0时，原不等式的解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|1＜x＜$\frac{1}{a}$}；
当a=1时，原不等式的解集为∅；
当a＞1时，原不等式的解集为{x|$\frac{1}{a}＜x＜1\}$．…（5分）
（2）∵${a}_{1}=f（2）=2，且f（xy）=xf（y）+yf（x），令x=2，y={2}^{n-1}$ …（6分）
∴f（2^n）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）=2f（2^n-1）+2ⁿ…（7分）
即${a}_{n}=2{a}_{n-1}+{2}^{n}（n≥2）$，∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}+1$，∴$\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}\}$是以1为首项，1为公差的等差数列，
…（8分）
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=1+（n-1）=n，即{a}_{n}=n•{2}^{n}$，…（9分）
（3）因为${b}_{n}=\frac{n+2}{n+1}•\frac{1}{{a}_{n}}=2[\frac{1}{n•{2}^{n}}-\frac{1}{（n+1）{2}^{n+1}}]$，…（10分）
所以  ${s}_{n}=2[（\frac{1}{1•2}-\frac{1}{2•{2}^{2}}）+（\frac{1}{2•{2}^{2}}-\frac{1}{2•{2}^{3}}）+…+$$（\frac{1}{n•{2}^{n}}-\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}）]=2[\frac{1}{2}-\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}]＜1$     …（12分）

点评 本题考查了分类讨论解含参数的不等式、利用递推式构造新数列及放缩法证明数列不等式，属于中档题．．