Question

16．如图，三棱锥P-ABC中，D，E分别是BC，AC的中点．PB=PC=AB=2，AC=4，BC=2$\sqrt{3}$，PA=$\sqrt{6}$．
（1）求证：平面ABC⊥平面PED；
（2）求AC与平面PBC所成的角；
（3）求平面PED与平面PAB所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据AB，BC，AC边的长度容易得到BC⊥AB，E，D都是中点，从而DE∥AB，这便得到BC⊥DE，而由PB=PC，D为BC边中点，从而便得到BC⊥PD，从而由线面垂直的判定定理即得BC⊥平面PED；
（2）取PD中点F，连接EF，CF，则∠ECF是直线AC和平面PBC所成角，由此能求出直线AC与平面PBC所成角．
（3）以D为原点，分别以DC，DE为x，y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PED与平面PAB所成锐二面角的余弦值．

解答 证明：（1）∵PB=PC=AB=2，AC=4，BC=2$\sqrt{3}$，PA=$\sqrt{6}$，
∴AB²+BC²=AC²；
∴BC⊥AB；
D，E分别是BC，AC中点；
∴DE∥AB；
∴BC⊥DE；
又PB=PC，D是BC中点；
∴BC⊥PD，DE∩PD=D；
∴BC⊥平面PED；
解：（2）PA=$\sqrt{6}$，PC=2，AC=4，
∴由余弦定理cos∠PCA=$\frac{7}{8}$，
在△PCE中，PC=2，CE=2，
∴由余弦定理得PE=1，DE=1，∴PD=1；
∴△PDE为等边三角形；
∴如图，取PD中点F，连接EF，CF，则：EF⊥PD；
又BC⊥平面PED，EF?平面PED；
∴BC⊥EF，即EF⊥BC，PD∩BC=D；
∴EF⊥平面PBC；
∴∠ECF是直线AC和平面PBC所成角；
EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CE=2；
∴sin∠ECF=$\frac{EF}{CE}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴直线AC与平面PBC所成角为arcsin$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（3）以D为原点，分别以DC，DE为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
B（-$\sqrt{3}$，0，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），E（0，1，0），A（-$\sqrt{3}$，2，0），
设P（0，y，z），则由PC=2，PA=$\sqrt{6}$，
得$\left\{\begin{array}{l}{3+{y}^{2}+{z}^{2}=4}\\{3+（y-2）^{2}+{z}^{2}=6}\end{array}\right.$，解得y=$\frac{1}{2}$，z=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴P（0，$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），
∵$\overrightarrow{BA}$=（0，2，0），$\overrightarrow{BP}$=（$\sqrt{3}，\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{y}_{1}=0}\\{\sqrt{3}{x}_{1}+\frac{1}{2}{y}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取x₁=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-2），
平面PED的法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞
=$\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴平面PED与平面PAB所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，考查线面角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意线面垂直的判定定理，以及余弦定理，线面垂直的性质，线面角的概念及找法的合理运用．