Question

1．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴且长度单位相同，建立极坐标系，设曲线C参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离，并求出这个点的坐标．

Answer 1

分析 （1）消去参数可得曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化方法求直线l的直角坐标方程；
（2）在$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$上任取一点P（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），即可求曲线C上的点到直线l的最大距离，并求出这个点的坐标．

解答 解：（1）曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1，直线l的直角坐标方程为x+y-4=0．
（2）在$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$上任取一点P（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ）
则点P到直线l的距离为d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ+sinθ-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（θ+\frac{π}{3}）-4|}{\sqrt{2}}$≤3$\sqrt{2}$，
∴当sin（θ+$\frac{π}{3}$）=-1时，d_max=3$\sqrt{2}$，此时这个点的坐标为（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程、直角坐标方程的互化，考查点到直线的距离公式，属于中档题．