Question

20．如图甲，在平行四边形ABCD中，AB=$\sqrt{15}$，AD=$\sqrt{7}$，对角线BD=4，现沿对角线BD把△ABD折起，使点A的位置变成点P，且平面PBD⊥平面BCD如图乙所示，若图乙中三棱锥P-BCD的四个顶点在同一个球的球面上，则该球的表面积为19π．

Answer 1

分析 由余弦定理求出cos∠BCD，得到sin∠BCD，再由正弦定理求出△BCD的外接圆半径，得到△BCD的外接圆圆心到BD的距离d，也就是△PBD的外接圆的圆心到BD的距离，利用勾股定理求得三棱锥P-BCD的外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．

解答 解：在△BCD中，由CD=$\sqrt{15}$，BC=$\sqrt{7}$，BD=4，可得cos∠BCD=$\frac{15+7-16}{2\sqrt{105}}=\frac{3}{\sqrt{105}}$，
∴sin∠BCD=$\frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{105}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{35}}$，
由正弦定理可得△BCD的外接圆半径r=$\frac{\sqrt{70}}{4}$，
则△BCD的外接圆圆心到BD的距离d=$\sqrt{（\frac{\sqrt{70}}{4}）^{2}-4}=\frac{\sqrt{6}}{4}$，
同理△PBD的外接圆的圆心到BD的距离也为$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴三棱锥P-BCD的外接球的半径为R=$\sqrt{（\frac{\sqrt{70}}{4}）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{4}）^{2}}=\frac{\sqrt{19}}{2}$．
∴该球的表面积为$4π（\frac{\sqrt{19}}{2}）^{2}=19π$．
故答案为：19π．

点评 本题考查球的表面积与体积，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．