Question

6．已知函数f（x）=lnx，g（x）=-$\frac{a}{x}$（a＞0），若?x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x）+$\frac{3}{2}$，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 把?x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x）+$\frac{3}{2}$，转化为?x∈（0，e]，有$a≥\frac{3}{2}x-xlnx$．设h（x）=$\frac{3}{2}x-xlnx$，x∈（0，e]，利用导数求其最大值得答案．

解答 解：f（x）≥g（x）+$\frac{3}{2}$，即lnx≥$-\frac{a}{x}$+$\frac{3}{2}$，
也就是$\frac{a}{x}≥\frac{3}{2}-lnx$，
∵x∈（0，e]，∴$a≥\frac{3}{2}x-xlnx$．
设h（x）=$\frac{3}{2}x-xlnx$，x∈（0，e]，
则h′（x）=$\frac{3}{2}-lnx-1=\frac{1}{2}-lnx$，
令h′（x）=0，得$\frac{1}{2}-lnx=0$，即x=$\sqrt{e}$．
∴当x∈（0，$\sqrt{e}$）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；
当x∈（$\sqrt{e}$，e]时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．
∴$h（x）_{max}=h（\sqrt{e}）=\frac{3}{2}\sqrt{e}-\frac{\sqrt{e}}{2}=\sqrt{e}$．
∴a$≥\sqrt{e}$．

点评 本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，考查分离参数法，属中档题．