Question

11．四棱锥P-ABCD的底面为矩形，且PA⊥平面ABCD，AB=AD=$\frac{1}{2}$AP=2，E为侧棱PC的中点，则异面直线AE与PD所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{30}}}{10}$
• B． $-\frac{{\sqrt{30}}}{10}$
• C． $\frac{{\sqrt{30}}}{5}$
• D． $-\frac{{\sqrt{30}}}{5}$

Answer 1

分析 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与PD所成角的余弦值．

解答 解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），P（0，0，4），C（2，2，0），E（1，1，2），D（0，2，0），
$\overrightarrow{AE}$=（1，1，2），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-4），
设异面直线AE与PD所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PD}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{PD}|}$=$\frac{6}{\sqrt{6}•\sqrt{20}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴异面直线AE与PD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
故选：A．

点评 本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．