题目内容
如图，已知椭圆C1的中点在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．若存在直线l，使得BO∥AN，求椭圆离心率的取值范围考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：依题意可设C1：
+
=1，C2：
+
=1，（a＞b＞0）．设直线l：x=t（|t|＜a），t≠0时，由BO∥AN，得t=-
=
•a．由此能求出椭圆离心率的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| b2y2 |
| a4 |
| x2 |
| a2 |
| ab2 |
| a2-b2 |
| 1-e2 |
| e2 |
解答：
解：因为C1，C2的离心率相同，
故依题意可设
C1：
+
=1，C2：
+
=1，（a＞b＞0）．
设直线l：x=t（|t|＜a），t≠0时，
BO∥AN，当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，
即
=
，
解得t=-
=
•a．
因为|t|＜a，又0＜e＜1，
所以
＜1，解得
＜e＜1．
故答案为：（
，1）．
故依题意可设
C1：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| b2y2 |
| a4 |
| x2 |
| a2 |
设直线l：x=t（|t|＜a），t≠0时，
BO∥AN，当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，
即
| ||||
| t |
| ||||
| t-a |
解得t=-
| ab2 |
| a2-b2 |
| 1-e2 |
| e2 |
因为|t|＜a，又0＜e＜1，
所以
| 1-e2 |
| e2 |
| ||
| 2 |
故答案为：（
| ||
| 2 |
点评：本题考查椭圆离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线斜率相等的合理运用．
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