Question

16．已知命题p：函数y=log_0.5（x²+x+a）的定义域为R，命题q：关于x的不等式x²-2ax+1≤0在R上有解．若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别由命题P、q为真命题求出a的取值范围，再由p或q为真命题，p且q为假命题得p、q一真一假，然后分类求解a的范围，再取并集得答案．

解答 解：由y=log_0.5（x²+x+a）的定义域为R，得1-4a＜0，即a$＞\frac{1}{4}$；
由关于x的不等式x²-2ax+1≤0在R上有解，得4a²-4≥0，即a≤-1或a≥1．
若p或q为真命题，p且q为假命题，
则p、q一真一假，
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{1}{4}}\\{-1＜a＜1}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{4}＜a＜1$；
若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{1}{4}}\\{a≤-1或a≥1}\end{array}\right.$，解得a≤-1．
∴实数a的取值范围是（$\frac{1}{4}，1$）∪（-∞，-1]．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查数学转化思想方法，是中档题．