Question

7．国内某大学有男生6000人，女生4000人，该校想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取100人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是[0，3]，若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”．根据调查的数据按性别与“是否为‘运动达人’”进行统计，得到如下2×2列联表：

运动时间 性别	运动达人	非运动达人	合计
男生	36
女生		26
合计			100

（1）请根据题目信息，将2×2列联表中的数据补充完整，并通过计算判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为性别与“是否为‘运动达人’”有关；
（2）为了进一步了解学生的运动情况及体能，对样本中的甲、乙两位运动达人男生1500米的跑步成绩进行测试，对多次测试成绩进行统计，得到甲1500米跑步成绩的时间范围是[4，5]（单位：分钟），乙1500米跑步成绩的时间范围是[4.5，5.5]（单位：分钟），现同时对甲、乙两人进行1500米跑步测试，求乙比甲跑得快的概率．
附表及公式：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，该校根据性别采取分层柚样的100人中，有60人为男生，40人为女生，据此将2×2列联表中的数据补充完整，计算K²，与临界值比较即可得出结论；
（Ⅱ）设甲、乙1500米跑步测试的时间分别为x，y分钟，则基本事件满足的区域为$\left\{\begin{array}{l}{4≤x≤5}\\{4.5≤y≤5.5}\end{array}\right.$，设事件A为“乙比甲跑得快”，则满足的区域为x＞y，以面积为测度，即可求出概率．

解答 解：（Ⅰ）由题意，该校根据性别采取分层柚样的100人中，有60人为男生，40人为女生，据此将2×2列联表中的数据补充完整如下表所示．

运动时间 性别	运动达人	非运动达人	合计
男生	36	24	60
女生	14	26	40
合计	50	50	100

…（2分）
由表中数据得K²的观测值$k=\frac{{100×{{（36×26-24×14）}^2}}}{50×50×60×40}=6＞5.024$，…（4分）
所以在犯错误概率不超过0.025的前提下，可以认为性别与“是否为‘运动达人’”有关．
…（6分）
（Ⅱ）设甲、乙1500米跑步测试的时间分别为x，y分钟，
则基本事件满足的区域为$\left\{\begin{array}{l}{4≤x≤5}\\{4.5≤y≤5.5}\end{array}\right.$，
设事件A为“乙比甲跑得快”，则满足的区域为x＞y，如图阴影所示，

由几何关系的概率公式可得P（A）=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}{1×1}$=$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查独立性检验知识的运用，考查几何概型，考查学生的计算能力，属于中档题．