Question

8．已知命题p：函数f（x）=log_ax（a＞0，且a≠1）在区间（0，+∞）上单调递增，命题q：函数f（x）=ax²-ax+1对于任意x∈R都有f（x）＞0恒成立．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是[0，1]∪[4，+∞）．

Answer 1

分析 根据对数函数的单调性，可求出p真时，a的取值范围；根据二次函数的图象和性质，可求出q真时，a的取值范围；再由p，q一真一假，可得答案．

解答 解：若命题p：函数f（x）=log_ax（a＞0，且a≠1）在区间（0，+∞）上单调递增为真命题，
则a＞1，
若命题q：函数f（x）=ax²-ax+1对于任意x∈R都有f（x）＞0恒成立为真命题，
则a=0，或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\{a}^{2}-4a＜0\end{array}\right.$，解得：0≤a＜4，
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，
∴命题p，q一真一假，
当p真q假时，a≥4，
当p假q真时，0≤a≤1，
综上可得：实数a的取值范围是[0，1]∪[4，+∞），
故答案为：[0，1]∪[4，+∞）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了对数函数的单调性，不等式恒成立，复合命题的真假判断等知识点，难度中档．