Question

15．若函数y=f（x）对定义域的每一个值x₁，在其定义域均存在唯一的x₂，满足f（x₁）f（x₂）=1，则称该函数为“依赖函数”．
（1）判断$y=\frac{1}{x^2}$，y=2^x是否为“依赖函数”；
（2）若函数y=a+sinx（a＞1），$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$为依赖函数，求a的值，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）根据“依赖函数”的定义进行判断即可，
（2）函数y=a+sinx（a＞1）为增函数，且函数关于（0，a）对称，若函数y=a+sinx（a＞1），$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$为依赖函数，则只需要函数的最大值和最小值满足f（x₁）f（x₂）=1即可，建立方程关系进行求解即可．

解答 解：（1）函数$y=\frac{1}{x^2}$，由f（x₁）f（x₂）=1，得$\frac{1}{{x}_{1}^{2}}$$•\frac{1}{{x}_{2}^{2}}$=1，即x₁²x₂²=1，
对应的x₁、x₂不唯一，所以$y=\frac{1}{x^2}$，x^-2不是“依赖函数”；
对于函数y=2^x，由f（x₁）f（x₂）=1，得2${2}^{{x}_{1}}•{2}^{{x}_{2}}$=1，得x₁+x₂=0，
所以x₂=-x₁，可得定义域内的每一个值x₁，都存在唯一的值x₂满足条件，故函数y=2^x是“依赖函数”．     
（2）当$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$时，函数y=a+sinx（a＞1）为增函数，且函数关于（0，a）对称，
若函数y=a+sinx（a＞1），$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$为依赖函数，
则只需要函数的最大值和最小值满足f（x₁）f（x₂）=1即可，
则函数的最大值为a+1，最小值为a-1，
则由（a+1）（a-1）=1得a²-1=1，
得a²=2，得a=$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据函数的新定义，建立方程关系是解决本题的关键．考查学生的转化能力．