Question

12．已知双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$上有不共线三点A，B，C，且AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，若满足OD，OE，OF的斜率之和为-1，则$\frac{1}{{{k_{AB}}}}+\frac{1}{{{k_{BC}}}}+\frac{1}{{{k_{AC}}}}$=（　　）

• A． 2
• B． $-\sqrt{3}$
• C． -2
• D． 3

Answer 1

分析 设A（（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₀，y₀），则x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，由$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}=1$得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4}=\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{2}$，即可得$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}=2×\frac{2{y}_{0}}{2{x}_{0}}=2\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，$\frac{1}{{k}_{AB}}=2{k}_{OD}$．同理可得$\frac{1}{{k}_{BC}}=2{k}_{OE}，\frac{1}{{k}_{AC}}=2{k}_{OF}$．即可．

解答 解：设A（（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₀，y₀），则x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀．
由$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}=1$得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4}=\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{2}$，
∴$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}=2×\frac{2{y}_{0}}{2{x}_{0}}=2\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，∴$\frac{1}{{k}_{AB}}=2{k}_{OD}$．
同理可得$\frac{1}{{k}_{BC}}=2{k}_{OE}，\frac{1}{{k}_{AC}}=2{k}_{OF}$．
∴$\frac{1}{{{k_{AB}}}}+\frac{1}{{{k_{BC}}}}+\frac{1}{{{k_{AC}}}}$=2（k_OD+k_OE+k_OF）=-2=-2．
故选：C．

点评 本题考查了双曲线的方程、性质，考查了中点弦问题的设而不求思想，属于中档题．