Question

18．已知$|{\vec a}|=3，|{\vec b}|=4$，且$（{2\vec a-\vec b}）•（{\vec a+2\vec b}）≥4$，求$\vec a$与$\vec b$的夹角θ的取值范围．

Answer 1

分析 根据平面向量数量积的运算法则，结合题意求出cosθ的取值，再求夹角θ的取值范围．

解答 解：由题意：$（{2\vec a-\vec b}）•（{\vec a+2\vec b}）≥4$，
∴2${\overrightarrow{a}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$≥4；
又|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=4，
∴2×9+3×3×4cosθ-2×16≥4，
解得$cosθ≥\frac{1}{2}$；
又θ∈[0，π]，
∴$\vec a$与$\vec b$夹角θ的取值范围是$θ∈[{0，\frac{π}{3}}]$．

点评 本题考查了平面向量数量积的应用问题，是基础题．