Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为对角线BD₁的三等分点，则P到各顶点的距离的不同取值有

 

个．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|=3，即可得到各顶点的坐标，利用两点间的距离公式即可得出．

解答： 解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|=3，
则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A₁（3，0，3），B₁（3，3，3），C₁（0，3，3），D₁（0，0，3），
∴

BD1

=（-3，-3，3），设P（x，y，z），∵

BP

=

1

3

BD1

=（-1，-1，1），∴

DP

=

DB

+（-1，-1，1）=（2，2，1）．
∴|PA|=|PC|=|PB₁|=

12+22+12

=

6

，
|PD|=|PA₁|=|PC₁|=

22+22+12

=3，
|PB|=

3

，
|PD₁|=

22+22+22

=2

3

．
故P到各顶点的距离的不同取值有

6

，3，

3

，2

3

共4个．
故答案为：4．

点评：本题考查空间点线面距离的计算，熟练掌握通过建立空间直角坐标系及两点间的距离公式是解题的关键．