Question

已知圆O₁：x²+y²-4x+3=0，O₂：x²+y²+4x-45=0，圆心为P的动圆C与圆O₁外切，且与圆O₂内切．
（Ⅰ）判断点P的轨迹为何种曲线，并求出其方程；
（Ⅱ）已知点M（2，3），点N（2，1），若平行于ON（O为坐标原点）的直线l₁交点P的轨迹于A、B两点，求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）圆的方程化为标准方程，利用椭圆的定义，可得点P的轨迹是以O₁，O₂为焦点的椭圆，且a=4，c=2，即可求出椭圆的方程；
（Ⅱ）由直线l∥ON，设l：y=

1

2

x+m，将式子代入椭圆C得：x²+mx+m²-12=0，设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，欲证明直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．只需证明：k₁+k₂=0即可．

解答： 解：（Ⅰ）设动圆半径为r，则
圆O₁：x²+y²-4x+3=0，可化为（x-2）²+y²=1；O₂：x²+y²+4x-45=0，可化为（x+2）²+y²=49，
∵圆心为P的动圆C与圆O₁外切，且与圆O₂内切，
∴|PO₂|=7-r，|PO₁|=1+r，
∴|PO₂|+|PO₁|=8＞4=|O₁O₂|，
∴点P的轨迹是以O₁，O₂为焦点的椭圆，且a=4，c=2，
∴b=

a2-c2

=2

3

，
∴椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1；
（Ⅱ）证明：由直线l∥ON，设l：y=

1

2

x+m，
将式子代入椭圆C得：x²+mx+m²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-12，
设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，
则k₁+k₂=

y1-3

x1-2

+

y2-3

x2-2

=

x1x2+(m-4)(x1+x2)-4m+12

(x1-2)(x2-2)

=0，
故直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形是等腰三角形的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与椭圆的位置关系的灵活运用．