Question

如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE=2，AA₁=4，∠E=60°，点B为DE中点，AB⊥BC．
（1）求AC的长；
（2）求二面角A-A₁C-B的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）设AC=2x，则EB=BD=x，（x＞0），由勾股定理得AB²+BC²=AC²，由余弦定理求出AB²和BC²，由此能求出AC=2x=4．
（2）以A为原点，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面A₁CB的法向量和平面AA₁C的法向量，从而求出二面角A-A₁C-B的余弦值，再由同角三角函数间关系能求出二面角A-A₁C-B的正切值．

解答： 解：（1）设AC=2x，则EB=BD=x，（x＞0）
∵平行四边形ACDE中，AE=2，∠E=60°，点B为DE中点，AB⊥BC，
∴AB²+BC²=AC²，
由余弦定理得AB²=AE²+BE²-2•AB•BE•cos60°=4+x²-2x，
BC²=CD²+BD²-2•CD•BD•cos120°=4+x²+2x，
∴8+2x²=4x²，解得x=2，
∴AC=2x=4．
（2）以A为原点，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意知B（

3

，1，0），A₁（0，0，4），C（0，4，0），

BA1

=（-

3

，-1，4），

BC

=（-

3

，3，0），
设平面A₁CB的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • BA1 =- 3 x-y+4z=0 n • BC =- 3 x+3y=0

，取x=

3

，得

n

=（

3

，1，1），
又平面AA₁C的法向量

m

=（1，0，0），
设二面角A-A₁C-B的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

n • m

| n |•| m |

|=|

3

5

|=

15

5

，
sinθ=

1-( 15 5 )2

=

10

5

，
tanθ=

sinθ

cosθ

=

10 5

15 5

=

6

3

．
∴二面角A-A₁C-B的正切值为

6

3

．

点评：本题考查线段长的求法，考查二面角的正切值的求法，涉及到勾股定理、余弦定理、向量法、三角函数等知识点的合理运用，是中档题．