Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+

2

=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点 A，B，设P为椭圆上一点，且满足

OA

+

OB

=t

OP

（ O为坐标原点），当|

PA

-

PB

|＜

2 5

3

时，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由离心率公式和直线与圆相切的条件，列出方程组求出a、b的值，代入椭圆方程即可；
（2）设A、B、P的坐标，将直线方程代入椭圆方程化简后，利用韦达定理及向量知识，即可求t的范围．

解答： 解：（1）由题意知e=

c

a

=

2

2

，…1分
所以e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

．即a²=2b²．…2分
又∵椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+

2

=0相切，
∴b=

2

1+1

=1，…3分，
则a²=2．…4分
故椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1． …6分
（2）由题意知直线AB的斜率存在．
设AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．
△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，解得k2＜

1

2

…7分
且x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1•x2=

8k2-2

1+2k2

．
∵足

OA

+

OB

=t

OP

，∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y）．
当t=0时，不满足|

PA

-

PB

|＜

2 5

3

；
当t≠0时，解得x=

x1+x2

t

=

8k2

t(1+2k2)

，
y=

y1+y2

t

=

k(x1+x2)-4k

t

=

-4k2

t(1+2k2)

，
∵点P在椭圆

x2

2

+y2=1上，∴

(8k2)2

t2(1+2k2)2

+2

(-4k)2

t2(1+2k2)2

=2，
化简得，16k²=t²（1+2k²）…8分
∵|

PA

-

PB

|＜

2 5

3

，∴

1+k2

|x1-x2|＜

2 5

3

，
化简得(1+k2)[(x1+x2)2-4x1•x2]＜

20

9

，
∴(1+k2)[

64k4

(1+2k2)2

-4×

8k2-2

1+2k2

]＜

20

9

，
∴（4k²-1）（14k²+13）＞0，解得k2＞

1

4

，即

1

4

＜k2＜

1

2

，…10分
∵16k²=t²（1+2k²），∴t2=

16k2

1+2k2

=8-

8

1+2k2

，…11分
∴-2＜t＜-

2 6

3

或

2 6

3

＜t＜2，
∴实数取值范围为(-2，-

2 6

3

)∪(

2 6

3

，2)…12分

点评：本题考查椭圆的方程、性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的运用，以及平面向量的知识，考查化简、计算能力和分类讨论思想，属于中档题．