Question

已知x，y满足方程x²+y²-4x+1=0，则y-x的最大值为

 

；x²+y²最小值为

 

．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：设y-x=b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值．进而利用点到直线的距离求得y-x的最小值；x²+y²是圆上点与原点距离之平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，进而可知x²+y²的最大值和最小值分别为|OC′|和|OB|，答案可得．

解答： 解：方程x²+y²-4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以

3

为半径的圆
设y-x=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值．
由点到直线的距离公式，得

|2-0+b|

2

=

3

，即b=-2±

6

，
故（y-x）_min=-2-

6

．
（3）x²+y²是圆上点与原点距离之平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，可知B到原点的距离最近，点C′到原点的距离最大，此时有OB=2-

3

，
∴（x²+y²）_min=|OB|²=7-4

3

．
故答案为：-2-

6

；7-4

3

．

点评：本题主要考查了圆的方程的综合运用．考查了学生转化和化归的思想和数形结合的思想．