Question

函数f（x）=x³-3ax²+3b²x，（a，b∈R）
（Ⅰ）若a=1，b=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）在区域D={（x，y）|（x-1）²+y²≤1，x，y∈R}中随机抽取一点，该点的横、纵坐标分别记为a、b，求函数f（x）在R上是增函数的概率；
（Ⅲ）若0＜a＜b，不等式f（

1+1nx

x-1

）＞f（

k

x

）对任意的x∈（1，+∞）恒成立，求整数k的最大值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）把a=1，b=0代入函数f（x）=x³-3ax²+3b²x中，对其进行求导，求出x=1处的导数，得出直线的斜率，写出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）基本事件是以A（1，0）为圆心，半径为1的圆及圆的内部，它构成的测度为S=π，所求事件为以A（1，0）为圆心，半径为1的圆及圆的内部，且满足f（x）在R上是增函数，求出其面积，即可求函数f（x）在R上是增函数的概率；
（Ⅲ）对f（x）进行求导，利用导数研究其单调性，可得f（x）是单调递减的，根据不等式，不等式f（

1+1nx

x-1

）＞f（

k

x

）?

(1+lnx)x

x-1

＞k，对x∈（1，+∞）恒成立，利用常数分离法进行求解．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1，b=0时，f（x）=x³-3x² 所以f（1）=-2 即切点为P（1，-2）
因为f′（x）=3x²-6x所以 f′（1）=3-6=-3，
所以切线方程为y+2=-3（x-1）即y=-3x+1，
（Ⅱ）基本事件是以A（1，0）为圆心，半径为1的圆及圆的内部，它构成的测度为S=π．

所求事件为以A（1，0）为圆心，半径为1的圆及圆的内部，且满足f（x）在R上是增函数，即f′（x）=3x²-6ax+3b²≥0，∴△≤0，∴|a|≤|b|，是弓形OC与弓形OD及弓形的内部，其测度为2（

π

4

-

1

2

）=

π

2

-1，
∴函数f（x）在R上是增函数的概率为

1

2

-

1

π

；
（Ⅲ）f′（x）=3x²-6ax+3b²，
由于0＜a＜b，所以△=36a²-36b²=36（a+b）（a-b）＜0，
所以函数f（x）在R上单调递增
所以不等式f（

1+1nx

x-1

）＞f（

k

x

）?

(1+lnx)x

x-1

＞k，对x∈（1，+∞）恒成立，
构造h（x）=

(1+lnx)x

x-1

，h′（x）=

x-lnx-2

(x-1)2

构造g（x）=x-lnx-2，g′（x）=

x-1

x

，
对x∈（1，+∞），g′（x）=

x-1

x

＞0
 所以g（x）=x-lnx-2在x∈（1，+∞）递增，
g（1）=-1，g（2）=-ln2，g（3）=1-ln3＜0，g（4）=2-ln4＞0，
所以?x₀∈（3，4），g（x₂）=x₀-lnx₀-2=0，
所以x∈（1，x₀），g（x）＜0，h（x）＜0，
所以，所以h（x）=

(1+lnx)x

x-1

在（1，x₂）递减x∈（x₀，+∞），g（x）＞0，h（x）＞0，
所以h（x）=

(1+lnx)x

x-1

在（x₀，+∞）递增，所以，h（x）_min=h（x₀）=

(1+lnx0)x0

x0-1

结合g（x₀）=x₀-lnx₀-2=0得到，h（x）_min=h（x₀）=x₀∈（3，4）
所以k＜

(1+lnx)x

x-1

对x∈（1，+∞）恒成立?k＜h（x）_min，
所以k≤3，整数k的最大值为3．

点评：本题考查函数、导数、概率知识及其应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想及化归与转化思想．