Question

已知函数f（x）=

3

sin

ωx+φ

2

cos

ωx+φ

2

+sin²

ωx+φ

2

（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的周期为π，且过点（

π

3

，1）
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用周期求得ω，利用已知点求得φ，得到函数解析式．
（2）利用x的范围确定2x+

π

6

的范围，进而利用三角函数的性质求得函数的值域．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin

ωx+φ

2

cos

ωx+φ

2

+sin²

ωx+φ

2

=

3

2

sin（ωx+φ）-

1

2

cos（ωx+φ）+

1

2

=sin（ωx+φ-

π

6

）+

1

2

，
T=

2π

ω

=π，
∴ω=2，
∵函数图象过点（

π

3

，1），
∴f（

π

3

）=sin（2•

π

3

-

π

6

+φ）+

1

2

=1，即sin（

π

2

+φ）=cosφ=

1

2

，
∵0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

3

，
∴f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴0≤sin（2x+

π

6

）+

1

2

≤

3

2

，
即函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的值域为[0，

3

2

]．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．要求学生对三角函数的图象能熟练掌握．