Question

在平面直角坐标系xOy中，已知M是椭圆

x2

4

+

y2

12

=1上在第一象限的点，A（2，0），B（0，2

3

）是椭圆两个顶点，求四边形OAMB的面积的最大值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设M（2cosθ，2

3

sinθ），θ∈(0，

π

2

)，四边形OAMB的面积S=

1

2

×OA×2

3

sinθ+

1

2

×OB×2cosθ利用三角函数的有界限求出四边形OAMB的面积的最大值．

解答： 解：∵M是椭圆

x2

4

+

y2

12

=1上在第一象限的点，
∴设M（2cosθ，2

3

sinθ），θ∈(0，

π

2

)，
由题意知，OA=2，OB=2

3

，
四边形OAMB的面积S=

1

2

×OA×2

3

sinθ+

1

2

×OB×2cosθ
=2

3

sinθ+2

3

cosθ
=2

6

sin(θ+

π

4

)，θ∈(0，

π

2

)
∴θ=

π

4

时，四边形OAMB的面积的最大值为2

6

．

点评：本题考查椭圆上的点的设法及三角函数的有界限求函数的最值，属于一道中档题．