Question

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物，2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境质量标准》，其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

组别	PM2.5（微克/立方米）	频数（天）	频率
第一组	（0，15]	4	0.1
第二组	（15，30]	12	0.3
第三组	（30，45]	8	0.2
第四组	（45，60]	8	0.2
第五组	（60，75]	4	0.1
第六组	（75，90]	4	0.1

（Ⅰ）求该样本的平均数的估计值，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进，并说明理由；
（Ⅱ）从第五组和第六组的8天中任取2天，求取出2天的PM2.5的24小时平均浓度都符合《环境空气质量标》的概率．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式,频率分布表

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）利用组中值×频数，先求出去年该居民区PM2.5年平均浓度为40.5（微克/立方米），进而可判断该居民区的环境是否需要改进．
（Ⅱ）设A_i为第五组的第i天，B_i为第六组的第i天，i=1、2、3、4，列举出从8天任取2天的所有情况和满足“取出2天的PM2.5的24小时平均浓度都符合《环境空气质量标》”的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为：
7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5（微克/立方米）
因为40.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，
故该居民区的环境需要改进．
（Ⅱ）设A_i为第五组的第i天，B_i为第六组的第i天，i=1、2、3、4
则从此8天任取2天的情况有：
A₁A₂，A₁A₃，A₁A₄，A₁B₁，A₁B₂，A₁B₃，A₁B₄，
A₂A₃，A₂A₄，A₂B₁，A₂B₂，A₂B₃，A₂B₄，
A₃A₄，A₃B₁，A₃B₂，A₃B₃，A₃B₄，
A₄B₁，A₄B₂，A₄B₃，A₄B₄，
B₁B₂，B₁B₃，B₁B₄，
B₂B₃，B₂B₄，
B₃B₄，共28种，
记“取出2天的PM2.5的24小时平均浓度都符合《环境空气质量标》”为事件A，
其中符合条件的有：A₁A₂，A₁A₃，A₁A₄，A₂A₃，A₂A₄，A₃A₄，共6种．
所以，所求事件A的概率P（A）=

6

28

=

3

14

，
故取出2天的PM2.5的24小时平均浓度都符合《环境空气质量标》的概率为

3

14

．

点评：本题主要考查频率分布表、古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识．