Question

5．若关于x的方程$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$=mx+m-1有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{3}{4}$）
• B． [$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）
• C． （$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）
• D． [$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=mx+m-1，f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$，在同一坐标系中作出二函数的图象，数形结合即可求得实数m的取值范围．

解答 解：令g（x）=mx+m-1，f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$，
∵方程mx+3m=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$有两个不同的实数解，
∴g（x）=mx+m-1与f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$有两个不同的交点，
在同一坐标系中作图如下：

∵g（x）=mx+m-1为过定点（-1，-1）的直线，
当直线g（x）=mx+m-1经过（1，0），即m=$\frac{1}{2}$时，
显然g（x）=mx+m-1与f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$有两个不同的交点；
当直线g（x）=mx+m-1与曲线f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$相切时，
$\frac{|2m+m-1|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}=1$，解得m=$\frac{3}{4}$或m=0（舍），
∴m∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），
故选：B

点评 本题考查根的存在性及根的个数判断，考查等价转化思想与数形结合思想的综合应用，属于中档题