Question

10．某学习小组20名学生一次数学考试成绩（单位：分）频率直方图如图所示，已知前三个矩形框垂直于横轴的高度成等差数列．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）分别求出成绩落在[50，60）与[80，90）中的学生人数；
（3）从成绩在[50，60）与[80，90）中的学生中人选2人，求此2人的成绩相差20分以上的概率．

Answer 1

分析 （1）由已知前三个长方形的高成等差数列知，第三个长方形的高为8a，再由频率分布直方图能求出a．
（2）由频率分布直方图，能求出成绩落在[50，60）与[80，90）中的学生人数．
（3）记成绩落在 中的2人为A₁，A₂，成绩落在 中的3人为B₁，B₂，B₃，利用列举法能求出这2人的成绩相差20分以上的概率．

解答 解：（1）由已知前三个长方形的高成等差数列知，第三个长方形的高为8a，
于是由频率分布直方图得（2a+5a+8a+3a+2a）×10=1，解得a═0.005．…（2分）
（2）由频率分布直方图，知：
成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，
成绩落在[80，90）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．…（4分）
（3）记成绩落在 中的2人为A₁，A₂，成绩落在 中的3人为B₁，B₂，B₃，
则从成绩在 与 中任选2人的基本事件共有10个：
（A₁，A₂），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃），（A₂，B₁），
（A₂，B₂），（A₂，B₃），（B₁，B₂），（B₁，B₃），（B₂，B₃），…（7分）
其中2人的成绩相差20分以上的基本事件有6个：
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），
故这2人的成绩相差20分以上的概率P=$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．…（10分）

点评 本题考查等差数列、频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．