题目内容
13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S1+S3=18，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设{$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$}是首项为1，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，求数列{bn}前n项和Tn．
分析 （1）由S1+S3=18，a1，a4，a13成等比数列．可得4a1+3d=18，$（{a}_{1}+3d）^{2}$=a1•（a1+12d），解出即可得出．
（2）由{$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$}是首项为1，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，可得$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，bn=（2n+1）•3n-1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
解答 解：（1）∵S1+S3=18，a1，a4，a13成等比数列．
∴4a1+3d=18，${a}_{4}^{2}={a}_{1}•{a}_{13}$，即$（{a}_{1}+3d）^{2}$=a1•（a1+12d），
解得a1=3，d=2．
∴an=3+2（n-1）=2n+1．
（2）∵{$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$}是首项为1，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，∴bn=（2n+1）•3n-1．
∴数列{bn}前n项和Tn=3+5×3+7×32+…+（2n+1）•3n-1．
3Tn=32+5×32+…+（2n-1）•3n-1+（2n+1）•3n，
∴-2Tn=3+2×（3+32+…+3n-1）-（2n+1）•3n=$2×\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$+1-（2n+1）•3n
∴Tn=n•3n．
点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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