Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E是PC中点，F为线段AC上一点．
（1）求证：BD⊥EF；
（2）若EF∥平面PBD，求

AF

FC

的值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）先证明BD⊥平面PAC，问题得以证明，
（2））设AC与BD交于O，连接PO，求证EF∥PO，再根据E是PC的中点，得出结论，

解答： 证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD
∴PA⊥BD，
又四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
又PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，
又EF?平面PAC，
∴BD⊥EF．
（2）设AC与BD交于O，连接PO，
∵EF∥平面PBD，平面PAC∩平面PBD=PO，且EF?平面PAC，
∴EF∥PO，又E是PC的中点，
∴OF=FC，
∴AF=3FC
即

AF

FC

=3

点评：本题主要考查了线面垂直和线线垂直的性质，属于中档题，培养了学生的转化思想．