Question

如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC．AD垂直于PB于D，AE垂直于PC于E．PA=

2

，AB=BC=1．
（1）求证：PC⊥平面ADE；
（2）R为四面体PABC内部的点，BR∥平面AED，求R点轨迹形成图形的面积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由PA⊥平面ABC，推断出PA⊥BC．又AB⊥BC，进而可知BC⊥平面PAB，则BC⊥AD．又AD⊥PB，推断出AD⊥平面PBC，进而可知PC⊥AD，又PC⊥AE，利用线面垂直的判定定理推断出PC⊥平面ADE．
（2）过点B作BM∥DE交PC于点M，过M做MQ∥AE交AC于点Q，则平面BMQ∥平面ADE．BM∥DE，则

PE

PM

=

PD

PB

=

2

3

，根据M为CE的中点．MQ∥AE，推断出点Q为AC中点．又BR∥平面AED，R为四面体PABC内部的点，进而可推断R的轨迹是△BQM内部的点．由BQ⊥QM，推断出R点轨迹形成图形的面积为△BQM的面积，根据三角形面积公式求得三角形的面积即可．

解答： 解：（1）PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．
又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，则BC⊥AD．
又AD⊥PB，∴AD⊥平面PBC，
∴PC⊥AD，又PC⊥AE，∴PC⊥平面ADE．
（2）过点B作BM∥DE交PC于点M，过M做MQ∥AE交AC于点Q，
则平面BMQ∥平面ADE．
∵BM∥DE，则

PE

PM

=

PD

PB

=

2

3

，∴M为CE的中点．
∵MQ∥AE，∴点Q为AC中点．
∵BR∥平面AED，R为四面体PABC内部的点，
∴R的轨迹是△BQM内部的点．
∵BQ⊥QM，∴R点轨迹形成图形的面积为△BQM的面积，
S_△BQM=

1

2

MQ•BQ=

1

2

×

1

2

×

2

2

=

2

8

，
∴R点轨迹形成图形的面积为

2

8

．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理的应用．考查了学生对基础定理的灵活运用．