Question

已知f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，

a

=（cos

π

4

，sinφ），

b

=（sin

3π

4

，cosφ），且

a

∥

b

（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象向右平移

π

2

个单位长度得到y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（I）先由周期公式求ω，再根据

a

∥

b

，可求得ϕ的值，即可得到函数解析式．
（II）先求解析式 g(x)=sin[2(x-

π

2

)+

π

4

]=sin(2x-

3π

4

)，由2kπ-

π

2

≤2x-

3π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可求y=g（x）的单调递增区间．

解答： （本题满分8分）
解：（I）∵T=

2π

ω

=π，
∴ω=2…（1分）
又∵

a

∥

b

，
∴cos

π

4

cosφ-sin

3π

4

sinφ=0，…（2分）
即cos

π

4

cosφ-sin

π

4

sinφ=cos(φ+

π

4

)=0，
又0＜φ＜π，
∴

π

4

＜φ+

π

4

＜

5π

4

，
∴φ+

π

4

=

π

2

，
∴φ=

π

4

，
∴f(x)=sin(2x+

π

4

)…（4分）
（II） g(x)=sin[2(x-

π

2

)+

π

4

]=sin(2x-

3π

4

)，…（5分）
由2kπ-

π

2

≤2x-

3π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，k∈Z，
即y=g（x）的单调递增区间为[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z…（8分）

点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，平面向量数量积的运算，三角函数的图象与性质，属于基础题．