Question

已知函数y=

1

2

cos²x+

3

2

cosxsinx+1，x∈R．
（1）求函数y的值域，并求出y取得最大值时x的集合；
（2）写出该函数图象如何由y=sinx（x∈R）的图象变换得到的．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据倍角公式和两角和的正弦公式可求函数的解析式，由正弦函数的性质可求得函数的最大和最小值，同时可求得函数取最大时x的值．
（2）利用平移规律及图象变换规律即可得到结果．

解答： 解：（1）∵y=

1

2

cos²x+

3

2

cosxsinx+1=

1+cos2x

4

+

3

4

sin2x+1=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，
∵sin（2x+

π

6

）∈[-1，1]，
∴y=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

∈[

3

4

，

7

4

]，
∴可解得：2x+

π

6

=2kπ+

π

2

即x=kπ+

π

6

，k∈Z时，y_max=

7

4

．
（2）把y=sinx的图象向左平移

π

6

，可得函数y=sin（x+

π

6

）的图象；
把函数y=sin（x+

π

6

）的图象横坐标变为原来的

1

2

，纵坐标不变，可得到函数y=sin（2x+

π

6

）的图象；
把函数y=sin（2x+

π

6

）的图象纵坐标变为原来的

1

2

，横坐标不变，可得到函数=

1

2

sin（2x+

π

6

）的图象；
再把函数=

1

2

sin（2x+

π

6

）的图象向上平移

5

4

个单位即可得到y=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

的图象．

点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基础题．