Question

如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，BD=1，BC=AD=2，沿BD将△ABD翻折，使得∠ADC=30°，得几何体B-ACD．

（1）求证：AC⊥平面BCD；
（2）求二面角D-AC-B的平面角的大小；
（3）求AB与平面BDC所成角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知中△ABC中，BD为AC边上的高，对折后，我们易得BD⊥DA，BD⊥DC，结合线面垂直的判定定理可得BD⊥平面ACD，再由线面垂直的性质，易得AC⊥BD，由余弦定理结合勾股定理可得AC⊥CD，进而可得AC⊥平面BCD；
（2）由已知中BD=1，BC=AD=2，沿BD将△ABD翻折，使得∠ADC=30°，结合（1）中BD⊥平面ACD，我们易得到平面BCD⊥平面ACD，AC⊥DC，进而可得AC⊥平面BCD，故∠BCD即为二面角D-AC-B的平面角；
（3）由（2）中AC⊥平面BCD，则∠ABC即为AB与平面BCD所成角，解直角三角形ABC即可求出AB与平面BCD所成角的余弦值．

解答： 解：（1）∵△ABC中，BD为AC边上的高
∴几何体B-ACD中，BD⊥DA，BD⊥DC，DA∩DC=D
∴BD⊥平面ACD
又∵AC?平面ACD
∴AC⊥BD；
又由BD=1，BC=AD=2，
∴CD=

3

，
又∵∠ADC=30°，
∴AC=

3 2+22-2•2• 3 • 3 2

=1，
即AD²=CD²+AC²，
即AC⊥CD，
又由BD∩CD=D，
∴AC⊥平面BCD

（2）由（1）中BD⊥平面ACD，BD?平面BCD
∴平面BCD⊥平面ACD
∵BD=1，BC=AD=2，使得∠ADC=30°
∴AB=

5

，AC=1，AC⊥DC，
又∵平面ACD∩平面BCD=CD，AC?平面ACD，
∴AC⊥平面BCD，
故∠BCD即为二面角D-AC-B的平面角，
∵BD=1，BC=2，
∴∠BCD=30°，
即二面角D-AC-B的平面角为30°．
（3）由（2）中AC⊥平面BCD，
∴∠ABC即为AB与平面BCD所成角
则cos∠ABC=

2 5

5

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的性质，其中正确理解在图形的翻折过程中，哪些直线的位置关系是不变的，进而得到相关直线垂直的有用信息是解答本题的关键．