Question

已知数列{a_n}前项n和s_n=n²+4n（n∈N*），数列{b_n}为等比数列，首项b₁=2，公比为q（q＞0），且满足b₂，b₃+4q，b₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=

3(an-3)•bn

4

，记数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）把当n=1时a₁=s₁、当n≥2时a_n=s_n-s_n-1代入s_n=n²+4n（n∈N*），化简求出a_n，由等差中项的性质求出公比q，代入等比数列的通项公式求出b_n；
（2）由（1）和条件求出c_n，利用错位相减法求出数列{c_n}的前n项和为T_n．

解答： 解：（1）由题意得，s_n=n²+4n（n∈N*），
当n=1时，a₁=s₁=5．
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=n²+4n-[（n-1）²+4（n-1）]=2n+3，
验证n=1时也成立，
所以数列{a_n}的通项公式为：a_n=2n+3，
因为b₂，b₃+4q，b₄成等差数列，b₁=2．
所以2（b₃+4q）=b₂+b₄，即q²-2q-3=0，
因为q＞0，所以q=3，
所以数列{b_n}的通项公式为：b_n=2•3^n-1…（6分）
（2）由（1）得，c_n=

3(an-3)•bn

4

=n•3ⁿ，
所以T_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ…①
3×T_n=1×3²+2×3³+3×3⁴+…+n×3ⁿ⁺¹…②
由①-②得：-2T_n=3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹
=

3(3n-1)

3-1

-n×3n+1=

(1-2n)•3n+1-3

2

所以T_n=

(2n-1)•3n+1+3

4

…（12分）

点评：本题考查了数列中a_n与s_n的关系式，等差中项的性质，等比数列的通项公式，以及错位相减法求数列的前n项和，考查了学生化简计算能力．