Question

8．已知函数$f（x）=cosx（sinx+\sqrt{3}cosx）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈（0，π），求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，求得函数f（x）的最小正周期
（Ⅱ）由条件利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调增区间．

解答 （Ⅰ）解：$f（x）=cosx（sinx+\sqrt{3}cosx）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$sinxcosx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}（2{cos^2}x-1）$=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x$
=$sin（2x+\frac{π}{3}）$，
所以函数f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
（Ⅱ）解：由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，求得$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}$，
所以函数f（x）的单调递增区间为$[kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}]$，k∈Z．
所以当x∈（0，π）时，f（x）的增区间为$（0，\frac{π}{12}]$，$[\frac{7π}{12}，π）$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．