Question

19．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的两个焦点分别为F₁，F₂，|F₁F₂|=2c（c＞0）．若点P在椭圆上，且∠F₁PF₂=90°，则点P到x轴的距离为（　　）

• A． $\frac{b^2}{a}$
• B． $\frac{b^2}{c}$
• C． $\frac{c^2}{a}$
• D． $\frac{c^2}{b}$

Answer 1

分析 作椭圆，从而可得|PF₁|+|PF₂|=2a，|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，从而可得|PF₁|•|PF₂|=2b²，再由三角形的面积公式求得．

解答 解：由题意作图如右，
∵|PF₁|+|PF₂|=2a，
又∵∠F₁PF₂=90°，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
∴|PF₁|•|PF₂|
=$\frac{（|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|）^{2}-（|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}）}{2}$
=$\frac{4{a}^{2}-4{c}^{2}}{2}$=2b²，
设点P到x轴的距离为d，
则|PF₁|•|PF₂|=|F₁F₂|•d，
故2b²=2cd，
故d=$\frac{{b}^{2}}{c}$，
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的定义的应用及数形结合的思想应用，同时考查了等面积的应用．