Question

18．矩形ABCD中，|AB|=8，|BC|=6．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S分别是线段OF和线段CF上的动点，且$\frac{OR}{OF}$=$\frac{CS}{CF}$=λ，建立如图所示的直角坐标系，O为矩形的对称中心，坐标轴分别平行于AB，BC．
（1）求直线ER与直线GS的交点M的轨迹方程；
（2）点N（$\sqrt{7}$，0），求线段MN的长度范围．

Answer 1

分析 （1）利用已知可得直线GS，ER的方程，消去参数，即可求直线ER与直线GS的交点M的轨迹方程；
（2）点N（$\sqrt{7}$，0），利用参数法，即可求线段MN的长度范围．

解答 解：（1）∵$\frac{OR}{OF}$=$\frac{CS}{CF}$=λ，∴R（4λ，0），S（4，3-3λ）
直线GS的方程为y=-$\frac{3λ}{4}$x+3①
又E（0，-3）则直线ER的方程为y=$\frac{3}{4λ}$x-3②
由①②消去λ，得到直线ER与直线GS的交点M的轨迹方程$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．  
（2）设M（4cosα，3sinα），
∴|MN|=$\sqrt{（4cosα-\sqrt{7}）^{2}+（3sinα）^{2}}$=$\sqrt{7（cosα-\frac{4\sqrt{7}}{7}）^{2}}$，
∵-1≤cosα≤1，
∴4-$\sqrt{7}$≤|MN|≤4+$\sqrt{7}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查参数法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．