Question

4．设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，若|AF|=$\frac{5}{2}$，以线段AF为直径的圆经过点B（0，1），则p=1或4．

Answer 1

分析 由题意，可得A（$\frac{5-p}{2}$，$\sqrt{p（5-p）}$），AB⊥BF，所以（$\frac{p}{2}$，-1）•（$\frac{5-p}{2}$，$\sqrt{p（5-p）}$-1）=0，即可求出p的值．

解答 解：由题意，可得A（$\frac{5-p}{2}$，$\sqrt{p（5-p）}$），AB⊥BF，
∴（$\frac{p}{2}$，-1）•（$\frac{5-p}{2}$，$\sqrt{p（5-p）}$-1）=0，
∴$\frac{p（5-p）}{4}$-$\sqrt{p（5-p）}$+1=0，
∴p（5-p）=4，∴p=1或4．
故答案为1或4．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查向量知识的运用，属于中档题．