Question

14．已知数列{a_n}是各项均不为零的等差数列，S_n为其前n项和，且S_2n-1=a${\;}_{n}^{2}$（n∈N^*），若不等式$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{{a}_{2}a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$≤nlog${\;}_{\frac{1}{8}}$λ对任意n∈N^*恒成立，则实数λ的最大值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 数列{a_n}是各项均不为零的等差数列，设公差为d，又S_2n-1=a${\;}_{n}^{2}$（n∈N^*），n=1时，${a}_{1}={a}_{1}^{2}$，解得a₁．n=2时，S₃=${a}_{2}^{2}$，解得d．可得a_n=2n-1．利用“裂项求和”方法可得：$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{{a}_{2}a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{2n+1}$．代入不等式$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{{a}_{2}a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$≤nlog${\;}_{\frac{1}{8}}$λ，化简利用数列的单调性、对数函数的单调性即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}是各项均不为零的等差数列，设公差为d，又S_2n-1=a${\;}_{n}^{2}$（n∈N^*），
∴n=1时，${a}_{1}={a}_{1}^{2}$，解得a₁=1．
n=2时，S₃=${a}_{2}^{2}$，即3+3d=（1+d）²，解得d=2或d=-1（舍去）．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{{a}_{2}a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．
不等式$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{{a}_{2}a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$≤nlog${\;}_{\frac{1}{8}}$λ，即：$\frac{n}{2n+1}$≤nlog${\;}_{\frac{1}{8}}$λ，化为：log${\;}_{\frac{1}{8}}$λ≥$\frac{1}{2n+1}$．
不等式$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{{a}_{2}a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$≤nlog${\;}_{\frac{1}{8}}$λ对任意n∈N^*恒成立，∴log${\;}_{\frac{1}{8}}$λ≥$\frac{1}{3}$，∴0＜λ≤$（\frac{1}{8}）^{\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$．
则实数λ的最大值是$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、数列的单调性、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．