Question

12．如图，在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=$\sqrt{2}$，CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，BC=1．将ABCD（及其内部）绕AB所在的直线旋转一周，形成一个几何体．
（1）求该几何体的体积V；
（2）求该几何体的表面积．

Answer 1

分析 （1）分别求出圆锥和圆柱的体积，再相加即可；
（2）几何体的表面积分为三部分，即圆柱的底面积，侧面积和圆锥的侧面积，分别求出各部分面积相加即可．

解答 解：（1）几何体为圆柱与圆锥的组合体，
圆锥和圆柱的底面半径为r=BC=1，圆锥的高为h₁=AB-CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，圆柱的高h₂=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴V=$π×{1}^{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{3}π×{1}^{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$π．
（2）圆锥的母线长l=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴几何体的面积S=π×1²+π×1×$\frac{\sqrt{6}}{2}$+2π×1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=π+$\frac{\sqrt{6}}{2}$π+$\sqrt{2}$π．

点评 本题考查了旋转体的结构特征，体积，表面积计算，属于基础题．