Question

2．设D，E是△ABC所在平面内的两个不同点，且$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，则$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{ABD}}$的面积比为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$可知D为BC中点，而根据$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$可知点E在边BC上，而由$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}$即可得到$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，从而得出$\frac{|\overrightarrow{BE}|}{|\overrightarrow{BD}|}=\frac{2}{3}$，这样根据三角形面积公式即可求出$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{ABD}}$的面积比．

解答 解：根据条件，D为边BC的中点，E在边BC上，如图所示：

$\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}$
=$-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
=$-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$
=$\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$；
$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$；
∴$\frac{|\overrightarrow{BE}|}{|\overrightarrow{BD}|}=\frac{2}{3}$；
∴$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{△ABD}}=\frac{2}{3}$．
故选B．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，以及三点共线的充要条件．