Question

2．已知定义在R上的函数f（x）是满足f（x）-f（-x）=0，在（-∞，0]上总有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，则不等式f（2x-1）＜f（3）的解集为（-1，2）．

Answer 1

分析 由题意可得函数f（x）为偶函数，函数f（x）在（-∞，0]是减函数，故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．则由不等式f（2x-1）＜f（3），可得-3＜2x-1＜3，由此求得x的范围．

解答 解：∵f（x）-f（-x）=0，故函数f（x）为偶函数，
∵在（-∞，0]上总有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，即图象上任意两点的斜率小于零，
故函数f（x）在（-∞，0]是减函数，故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
则由不等式f（2x-1）＜f（3），可得-3＜2x-1＜3，求得-1＜x＜2，
故不等式的解集为（-1，2），
故答案为：（-1，2）．

点评 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于基础题．