Question

5．已知f（x）=$\frac{x+a}{x-a}$e^x．
（Ⅰ）a=1时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）a=0且x＞0时，$\frac{f（x）}{lnf（x）}$+m＞0恒成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）在（-1，1）上单调递减，求a的范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f（0），f′（0），求出切线方程即可；
（Ⅱ）原式即$\frac{{e}^{x}}{x}$+m＞0，令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，求出函数的导数，得到g（x）的最小值，求出m的范围即可；
（Ⅲ）求出函数的导数，问题转化为x²-a²-2a≤0且a≠x，根据二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=$\frac{x+1}{x-1}$e^x，f′（x）=e^x$\frac{{x}^{2}-3}{{（x-1）}^{2}}$，
∴f（0）=-1，f′（0）=-3，
∴f（x）的切线方程是y+1=-3（x-0），
即3x+y+1=0；
（Ⅱ）当a=0时，f（x）=e^x，
∴lnf（x）=x，原式即$\frac{{e}^{x}}{x}$+m＞0，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，则g′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$e^x，
∵x＞0，∴0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减，
x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增，
故g（x）_最小值=g（1）=e，
∴m＞-e；
（Ⅲ）∵f′（x）=$\frac{{x}^{2}{-a}^{2}-2a}{{（x-a）}^{2}}$e^x，x≠a且f（x）在（-1，1）递减，
∴$\frac{{x}^{2}{-a}^{2}-2a}{{（x-a）}^{2}}$e^x≤0在（-1，1）恒成立，
故只需x²-a²-2a≤0且a≠x，
故$\left\{\begin{array}{l}{1{-a}^{2}-2a≤0}\\{a≤-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1{-a}^{2}-2a≤0}\\{a≥1}\end{array}\right.$，
解得：a≥1或a≤-1-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．