Question

16．已知正项数列{a_n}满足a₁=1，且a_n+1=$\frac{a_n}{{2{a_n}+1}}（n∈{N^*}）$．
（1）证明数列$\{\frac{1}{a_n}\}$为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（-1）ⁿ•n•a_n•a_n+1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用数列的递推关系式，转化等差数列的定义证明即可，然后求解通项公式．
（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可．

解答 解：（1）证明：∵${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{2{a_n}+1}}$，∴$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=2+\frac{1}{a_n}$，∴$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=2$，
又$\frac{1}{a_1}=1$，∴数列$\{\frac{1}{a_n}\}$是以1为首项，2为公差的等差数列
∴$\frac{1}{a_n}=2n-1$，∴${a_n}=\frac{1}{2n-1}（n∈{N^*}）$…6分
（2）由（1）知，${b_n}={（-1）^n}\frac{n}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{4}×{（-1）^n}×（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=$\frac{1}{4}[-（\frac{1}{1}+\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）-（\frac{1}{5}+\frac{1}{7}）+…+{（-1）^n}（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{4}[-1+{（-1）^n}\frac{1}{2n+1}]$…12分．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．