Question

14．在矩形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，记△DEF三边及内部组成的区域为Ω，$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}$，当点P在Ω上运动时，2x+3y的最大值为$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 以AB，AD所在的直线为x，y轴，建立如图所示的坐标系，不妨设AB=2a，AD=2b，根据向量的坐标运算可得m=2ax，n=2by，再根据线性规划求出最大值．

解答 解：以AB，AD所在的直线为x，y轴，建立如图所示的坐标系，
不妨设AB=2a，AD=2b，
则A（0，0），B（2a，0），D（0，2b），
∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴E（a，0），F（2a，b），
再设P（m，n），则0≤m≤2a，0≤n≤2b，
∵$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}$，
∴（m，n）=x（2a，0）+y（0，2b）=（2ax，2by），
∴m=2ax，n=2by，
∴设z=2x+3y=$\frac{m}{a}$+$\frac{3n}{2b}$，
∴n=-$\frac{2b}{3a}$m+$\frac{2b}{3}$z，
平移直线n=-$\frac{2b}{3a}$m+$\frac{2b}{3}$z，当与y轴上的截距最大时，此时z最大，
若经过点F（2a，b）时，最大，此时z=2a×$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{2b}$×b=$\frac{7}{2}$，
若经过点D（0，b）时，最大，此时z=0×$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{2b}$×2b=3，
综上所述2x+3y的最大值为$\frac{7}{2}$，
故答案为：$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查了向量的坐标运算和和线性规划的问题，属于中档题