Question

已知数列{a_n}，满足a_n+1=

1 2 an，n为偶数 an+1，n为奇数

，a₄=

5

2

，若b_n=a_2n-1-1（b_n≠0）．
（Ⅰ）求a₁，并证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）令C_n=（2n-1）a_2n-1，求数列{C_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知的数列递推式结合a₄=

5

2

求得a₁，然后由b_n+1=a_2n+1-1，b_n=a_2n-1-1得到

bn+1

bn

=

a2n+1-1

a2n-1-1

=

1 2 a2n-1

a2n-1-1

=

1 2 (a2n-1-1)

a2n-1-1

=

1

2

，从而得到数列{b_n}是以

1

2

为公比的等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得bn=(

1

2

)n-1，得到a2n-1=(

1

2

)n-1+1，代入C_n=（2n-1）a_2n-1，整理分组后利用等差数列的前n项和及错位相减法求得数列{C_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）当n为奇数时，a_n+1=a_n+1，
∴a₄=a₃+1，则a3=a4-1=

5

2

-1=

3

2

．
当n为偶数时，an+1=

1

2

an，
∴a3=

1

2

a2，即a2=2a3=2×

3

2

=3．
a₂=a₁+1，∴a₁=a₂-1=3-1=2．
证明：b_n+1=a_2n+1-1，b_n=a_2n-1-1，
则

bn+1

bn

=

a2n+1-1

a2n-1-1

=

1 2 a2n-1

a2n-1-1

=

1 2 (a2n-1+1)-1

a2n-1-1

=

1 2 (a2n-1-1)

a2n-1-1

=

1

2

．
∴数列{b_n}是以b₁=a₁-1=1为首项，以

1

2

为公比的等比数列；

（Ⅱ）由（Ⅰ），得bn=(

1

2

)n-1，
则a_2n-1-1=b_n=(

1

2

)n-1，∴a2n-1=(

1

2

)n-1+1．
C_n=（2n-1）a_2n-1=（2n-1）[

1

2n-1

+1]=（2n-1）+

2n-1

2n-1

．
∴Tn=[1+3+…+(2n-1)]+(

1

20

+

3

21

+…+

2n-1

2n-1

)=

(2n-1+1)n

2

+（

1

20

+

3

21

+…+

2n-1

2n-1

）．
令Rn=

1

20

+

3

21

+…+

2n-1

2n-1

，
则

1

2

Rn=

1

21

+

3

22

+…+

2n-1

2n

，
两式作差得：

1

2

Rn=1+1+

1

2

+…+

1

2n-2

-

2n-1

2n

=1+

1- 1 2n-1

1- 1 2

-

2n-1

2n

=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

．
∴Rn=6-

1

2n-3

-

2n-1

2n-1

．
∴Tn=n2+6-

2n+3

2n-1

．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了数列的分组求和，训练了错位相减法求数列的前n项和，解答此题的关键在于证明数列{b_n}是等比数列，属有一定难度题目．